determina k in modo che il limite esiste finito

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Ciao oslinux emt

Per determinare i valori di a e di b per i quali il limite esiste finito dobbiamo trovare lo sviluppo di Taylor centrato in x_0= 0.

Si ha che:

ln(1-x)= -x-frac{x^2}{2}+o(x^2)

ln(1+x)= x- frac{x^2}{2}+o(x^2)

Il numeratore diventa quindi

ln(1-x)-ln(1+x)-ax-b=-b+(-2-a)x+o(x^2)

Adesso lavoriamo con il denominatore:

sin(x+x^2)= x+x^2+o(x^2)

sin(x-x^2)= x-x^2+ o(x^2)

Il denominatore diventa quindi:

sin(x-x^2)-sin(x+x^2)= -2x^2+o(x^2)

in definitiva il limite diventa quindi:

lim_{xto 0}frac{-b+(-2-a)x+o(x^2)}{-2x^2+o(x^2)}

Ora osserva che se b= 0 e -2-a=0, ovvero se a= -2 allora il limite esiste finito e vale zero.

Se invece b=0 e ane-2 il limite non esiste così come non esiste se b è diverso da zero, indipendentemente dal valore di a.

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