determina k in modo che la retta di equazione y=kx

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Ciao SaraT emt

Dato che sei nuova da queste parti, rispondo ugualmente alla tua domanda anche se dovrei cancellarla. In accordo con le linee guida del Forum – ti invito a leggerle – ogni richiesta deve essere accompagnata da un tentativo di risoluzione, indipendentemente dal fatto che esso sia giusto o sbagliato. emt

Abbiamo un fascio di rette

kx - y - 1 = 0

e ci domandiamo quale valore del parametro k individua la retta tangente alla circonferenza di equazione

x^2 + y^2 - x = 0

Trovi tutta la teoria che ti serve per svolgere l’esercizio nella seguente guida: posizioni di una retta rispetto a una circonferenza. Per determinare la retta richiesta dobbiamo mettere a sistema le due equazioni

begin{cases}kx-y-1=0\ x^2 + y^2 - x = 0end{cases}

e ricavare la risolvente del sistema, cioè l’equazione di secondo grado in x che si ottiene per sostituzione nel seguente modo.

Scriviamo l’equazione del fascio in forma esplicita (vedi equazione della retta), cioè nella forma

y=kx-1

e nel sistema

begin{cases}y=kx-1\ x^2 + y^2 - x = 0end{cases}

sostituiamo l’espressione di y in funzione di x nella seconda equazione

begin{cases}y=kx-1\ x^2 + (kx-1)^2 - x = 0end{cases}

L’equazione

x^2 + (kx-1)^2 - x = 0

è proprio la risolvente associata al sistema. Scriviamola in forma estesa sviluppando il quadrato del binomio

x^2+k^2x^2-2kx+1-x=0

Raccogliamo in favore dei termini in x

(1+k^2)x^2+(-1-2k)x+1=0

Ok. emt Per determinare il valore del parametro che individua la retta tangente dobbiamo imporre che il discriminante di tale equazione sia uguale a zero

Delta=0

ossia

(-1-2k)^2-4(1+k^2)=0

facciamo i conti

1+4k+4k^2-4-4k^2=0

4k-3=0 to k=frac{3}{4}

e la retta del fascio tangente alla circonferenza è data da

y=frac{3}{4}x-1

Clicca per leggere la risposta completa

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