determina k in modo che le due curve siano tangenti

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Nessun problema Wink

Per determinare il valore del parametro a in modo tale che le curve di equazione

y=f(x)=-ax^3+2x+a

e

y=g(x)=ax^2+frac{8}{5}

abbiano tangente in comune nel punto di ascissa x=1, è sufficiente derivare le funzioni corrispondenti, valutare le derivate prime in x=1 ed uguagliare i due valori ottenuti (che chiaramente dipenderanno dal parametro a).

Il riferimento teorico è a questo articolo: come determinare la retta tangente al grafico di una funzione in un punto.

Abbiamo

{tex}f'(x)=-3ax^2+2{/te}

g'(x)=2ax

Valutiamole in x=1

f'(1)=-3a+2

g'(1)=2a

ed uguagliamo le due espressioni

-3a+2=2a

da cui

a=-frac{2}{5}

A questo punto possiamo dare un volto alle due funzioni:

y=f(x)=frac{2}{5}x^3+2x-frac{2}{5}

e

y=g(x)=-frac{2}{5}x^2+frac{8}{5}

sapendo che la valutazione della derivata prima di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente nel punto, valutando una delle due funzioni nel punto di ascissa x=1 troviamo (ad esempio con g(x))

y=frac{6}{5}

Basterà allora ricorrere alla generica equazione di una retta noto il coefficiente angolare e le coordinate di un punto che le appartiene:

y-y_P=m(x-x_p)

a te il colpo di grazia all’esercizio: sostituire coordinate del punto e valre del coefficiente angolare. Wink

Namasté!

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