determina k in modo che le radici siano opposte

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Consideriamo l’equazione parametrica di secondo grado

kx^2-2(k-2)x+k-7=0

Il nostro compito prevede di determinare il valore da attribuire a k in modo tale che vengano soddisfatte alcune condizioni. Per risolvere l’esercizio, bisogna avvalersi delle relazioni che intercorrono tra i coefficienti del polinomio al primo membro e le sue radici.

Punto a)

Affinché le due radici siano uguali, dobbiamo richiedere che il discriminante associato all’equazione sia uguale a zero. Indicati con a,  b  mbox{e}  c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto, vale a dire:

a=k    ,    b=-2(k-2)    c=k-7

il discriminante associato si ricava mediante la relazione:

Delta=b^2-4ac= [-2(k-2)]^2-4k(k-7)=4(k-2)^2-4k(k-7)=

Sviluppiamo il quadrato di binomio e calcoliamo il prodotto tra i polinomi:

\ =4(k^2-4k+4)-4k^2+28k=4k^2-16k+16-4k^2+28k= \ \ =16+12k

Imponiamo la nullità del delta, ricavando in questo modo l’equazione di primo grado avente come soluzione il k richiesto:

Delta=0    to    16+12k=0    to    k=-frac{16}{12}=-frac{4}{3}

Possiamo affermare che le soluzioni dell’equazione sono uguali se e solo se k=-frac{4}{3}.

Punto b)

Nel secondo punto del problema ci viene chiesto di ricavare i valori da attribuire a k di modo che le soluzioni dell’equazione siano opposte.

Affinché ciò sia possibile dobbiamo richiedere che:

– il coefficiente di x^2 sia diverso da zero – condizione necessaria e sufficiente affinché l’equazione data sia di secondo grado;

– il discriminante sia positivo o nullo, così da garantire la realtà delle due soluzioni;

– il rapporto -frac{b}{a} sia uguale a zero.

Giustifichiamo meglio la terza condizione: poiché le radici sono opposte (x_{1}=-x_{2}), la loro somma dovrà essere necessariamente uguale a zero (x_1+x_2=0). Dalla teoria, sappiamo che la somma delle soluzioni di un’equazione di secondo grado è uguale a -frac{b}{a}, per cui:

x_{1}+x_2=0    to    -frac{b}{a}=0

Nel caso considerato, il rapporto è

-frac{-2(k-2)}{k}=0     to    frac{2k-4}{k}=0   mbox{con}  kne 0

Alla luce delle considerazioni precedenti, siamo in grado di impostare le condizioni che consentono di risolvere l’esercizio:

\ ane 0    to    kne 0 \ \ Deltage 0    to    16+12kge 0    to    kge -frac{4}{3}\ \ x_{1}+x_{2}=0    to    frac{2k-4}{k}=0    to    k=2

Il valore k=2 soddisfa sia la condizione di realtà (Deltage 0), sia la condizione di non nullità del coefficiente di x^2,  (ane 0), , per cui è un valore accettabile per k.

Punto c)

Affinché le soluzioni dell’equazione siano reciproche, occorre richiedere che il loro prodotto sia uguale a 1, cioè: x_{1}cdot x_{2}=1. Inoltre bisogna avvalersi della seguente relazione che lega il prodotto delle radici con i coefficienti:

x_{1}cdot x_2=frac{c}{a}

Chiaramente vanno considerate sia la condizione di realtà, Deltage 0, sia la condizione che garantisce la non nullità del coefficiente di x^2,  ane 0.

Abbiamo già analizzato le due condizioni nella parte precedente, dobbiamo solamente imporre la condizione sul prodotto delle radici:

x_{1}cdot x_2=1    to    frac{c}{a}=1    to    c=a

In termini più espliciti, dobbiamo richiedere che il coefficiente di x^2 sia uguale al termine noto:

c=a    to    k-7=k    to    -7=0

Abbiamo ottenuto un’equazione impossibile, pertanto possiamo affermare che non esiste alcun valore di k per cui l’equazione abbia soluzioni reciproche.

Punto d)

Nel quarto punto ci viene chiesto di ricavare il valore di k affinché l’equazione

kx^2-2(k-2)x+k-7=0

abbia come soluzione x=sqrt{3}. Dal punto di vista operativo, è sufficiente rimpiazzare x con sqrt{3} e risolvere l’equazione di primo grado nell’incognita k:

\ k(sqrt{3})^2-2(k-2)cdotsqrt{3}+k-7=0 \ \ 3k-4sqrt{3}-2sqrt{3}k+k-7=0

Raccogliamo rispetto a k

(4-2sqrt{3})k-7+4sqrt{3}=0

e isoliamo k al primo membro

(4-2sqrt{3})k=7-4sqrt{3}    to    k=frac{7-4sqrt{3}}{4-2sqrt{3}}

Sebbene non sia strettamente necessario, è possibile migliorare l’estetica del risultato effettuando la razionalizzazione del denominatore: basta moltiplicare e dividere la frazione per 4+2sqrt{3} e avvalersi della regola per la differenza di quadrati

\ k=frac{(7-4sqrt{3})(4+2sqrt{3})}{(4-2sqrt{3})(4+2sqrt{3})}=frac{28+14sqrt{3}-16sqrt{3}-8cdot 3}{16-4cdot 3}=\ \ \ =frac{4-2sqrt{3}}{4}=frac{2(2-sqrt{3})}{4}=frac{2-sqrt{3}}{2}

Punto e)

Nell’ultimo punto, ci viene chiesto di determinare il valore del parametro k in modo tale che la somma delle radici sai uguale al loro prodotto:

x_{1}+x_2=x_1cdot x_2

Poiché x_{1}+x_2=-frac{b}{a} mbox{e}  x_{1}cdot x_2=frac{c}{a}, la precedente relazione diventa

-frac{b}{a}=frac{c}{a}    to    -b=c

Sia chiaro che devono valere sia la condizione di realtà delle soluzioni (Deltage 0), sia la condizione per la non nullità del coefficiente di x^2  (ane 0).

L’uguaglianza -b=c si traduce nell’equazione di primo grado in k

-[-2(k-2)]=k-7    to    2k-4=k-7    to    k=-3

Attenzione! Il valore ottenuto non soddisfa la condizione di realtà, di conseguenza non è un valore accettabile!

In conclusione:

a) le radici sono uguali se e solo se k=-frac{4}{3};

b) le radici sono opposte se e solo se k=2;

c) le radici sono reciproche per nessun valore di k;

d) una radice è sqrt{3} per k=frac{2-sqrt{3}}{2};

e) la somma delle radici è uguale al loro prodotto per alcun valore di k.

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