determinare a b c in modo che la funzione y=ax+1/bx+c

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Determinare i coefficienti dell’equazione y=(ax^2+bx+c)/(dx+e) in modo che la curva da essa rappresentata abbia per asintoti le rette x=2 e y=-x-1 e nel punto di ascissa x=1 la retta tangente abbia coefficiente angolare 2.

Consideriamo la funzione

y=frac{ax^2+bx+c}{dx+e}

Per fare sì che essa abbia come asintoto verticale x=2, basta richiedere che

d(2)+e=0

Per fare sì che abbia come asintoto obliquo y=-x-1, dobbiamo richiedere che

lim_{xto pm infty}{frac{f(x)}{x}}=frac{a}{d}=m=-1

da cui

a=-d

e per controllare la quota all’origine dell’asintoto obliquo, imponiamo che

lim_{xto pm infty}{(f(x)-mx)}=-1

qui il trucco consiste nel limitarsi a tralasciare gli addendi costanti a numeratore e denominatore, che non comportano alcuna differenza nell’ordine di infinito della funzione

lim_{xto pm infty}{(f(x)-mx)}=lim_{xto pminfty}{frac{ax^2+bx}{dx}-frac{a}{d}x}=lim_{xto pminfty}{frac{bx}{dx}}=frac{b}{d}=-1

frac{b}{d}=-1

Infine basta calcolare la derivata prima della funzione, valutarla nel punto x=1 e richiedere che

f'(1)=2

che è la quarta condizione che permette di determinare i parametri della funzione.

La quinta condizione non c’è, il problema è mal posto!

Namasté!

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