qual è lo spigolo di base di una piramide

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Una piramide a base quadrata (detta anche piramide quadrata) è una piramide quadrangolare avente come base un quadrato, il cui lato è lo spigolo di base della piramide.

Una piramide a base quadrata può essere retta o obliqua. Vediamo come si definisce e come si rappresenta ciascun tipo di piramide per poi elencare tutte le formule e svolgere qualche problema.

Piramide a base quadrata retta

Nella piramide retta a base quadrata l’altezza coincide con il segmento che unisce il vertice della piramide non appartenente al piano di base con il centro della circonferenza inscritta in essa, che è il punto di incontro delle diagonali del quadrato.

Poiché il quadrato è un poligono regolare, una piramide retta a base quadrata è una piramide regolare, detta anche piramide regolare quadrangolare.

Le facce laterali della piramide retta a base quadrata sono triangoli isosceli congruenti e l’altezza relativa allo spigolo di base di ciascun triangolo è detto apotema della piramide.

 

Piramide retta base quadrata

Una piramide retta a base quadrata.

 

Piramide a base quadrata obliqua

Nella piramide obliqua a base quadrata il segmento che congiunge il vertice della piramide non appartenente al piano di base con il centro della circonferenza inscritta nel quadrato non è perpendicolare al piano della base, dunque il piede dell’altezza della piramide è un punto distinto dal centro del quadrato.

 

Piramide obliqua base quadrata

Una piramide obliqua a base quadrata.

 

Formule della piramide a base quadrata

Occupiamoci ora delle formule delle piramide a base quadrata, sia obliqua e che retta, non prima di aver specificato la corrispondenza tra nomi e simboli. V è il volume, S_{tot} l’area della superficie totale, S_{lat} l’area della superficie laterale, S_b l’area di base, 2p il perimetro, L lo spigolo di base, r il raggio della circonferenza inscritta nella base, h l’altezza della piramide, a l’apotema (nel caso retto e in quello regolare).

 

Volume della piramide a base quadrata (sia retta che obliqua)

V=frac{S_{b}times h}{3}\ \ V=frac{L^2 times h}{3}

Superficie di base (dal volume)

S_b=frac{3V}{h}

Altezza (dal volume)

h=frac{3V}{S_b}

Spigolo di base (dal volume)

L=sqrt{frac{3V}{h}}

Superficie totale della piramide a base quadrata (sia retta che obliqua)

S_{tot}=S_{lat}+S_{b}

Superficie laterale (dalla totale)

S_{lat}=S_{tot}-S_{b}

Superficie di base (dalla totale)

S_{b}=S_{tot}-S_{lat}

Superficie di base (area del quadrato)

S_b=L^2

Perimetro di base (perimetro del quadrato)

2p=4L

Formule della piramide retta a base quadrata

 

Superficie laterale

S_{lat}=frac{2ptimes a}{2}\ \ S_{lat}=frac{4L times a}{2}

Perimetro di base (con superficie laterale)

2p=frac{2S_{lat}}{a}

Apotema (con superficie laterale)

a=frac{2S_{lat}}{2p}

Spigolo di base (con superficie laterale)

L=frac{2S_{lat}}{4a}

Raggio della circonferenza inscritta nella base (apotema del quadrato)

r=frac{L}{2}

Spigolo di base (con il raggio)

L=2r

Perimetro di base (con il raggio)

2p=8r

Superficie di base (con il raggio)

S_b=4r^2

Apotema della piramide (teorema di Pitagora)

a=sqrt{h^2+r^2}

Raggio di base (con l’apotema)

r=sqrt{a^2-h^2}

Altezza (con l’apotema)

h=sqrt{a^2-r^2}

Nota: tenere a mente le formule del quadrato.

 

 

Le formule elencate discendono dalle formule della piramide con base qualsiasi, quindi se si conoscono le formule e le proprietà del quadrato non c’è nulla di nuovo da dover imparare o ricordare a memoria.

Esercizi svolti sulla piramide a base quadrata

Potete ora leggere una serie di problemi svolti sulla piramide a base quadrata, commentati, spiegati passo-passo e con tutti i calcoli necessari per giungere alla soluzione.

1) In una piramide obliqua a base quadrata lo spigolo di base misura 6√2 cm e l’altezza della piramide è il quadruplo della diagonale del quadrato di base. Calcolare il volume della piramide.

Svolgimento: il volume di una piramide si calcola dividendo per 3 il prodotto tra area di base e altezza

V=frac{S_b times h}{3}

Dai dati a nostra disposizione sappiamo che

\ L=6 sqrt{2} mbox{ cm} \ \ h=4d

dove d è la diagonale del quadrato di base.

Conoscendo la misura dello spigolo possiamo calcolare l’area di base

S_b=L^2=(6 sqrt{2} mbox{ cm})^2 = 72 mbox{ cm}^2

e la diagonale del quadrato

d=Lsqrt{2} = (6 sqrt{2} mbox{ cm}) times sqrt{2} = 12 mbox{ cm}

per poi determinare l’altezza della piramide

h=4d = 4 times (12 mbox{ cm}) = 48 mbox{ cm}

e, infine, calcolare il volume

V=frac{S_b times h}{3}=frac{(72 mbox{ cm}^2) times (48 mbox{ cm})}{3} = frac{3456 mbox{ cm}^3}{3} = 1152 mbox{ cm}^3

2) Lo spigolo di base e l’altezza di una piramide retta a base quadrata misurano 1,8 metri e 4 metri. Calcolarne il volume, l’apotema, l’area della superficie laterale e l’area della superficie totale.

Svolgimento: essendo nota la misura dello spigolo di base

L = 1,8 mbox{ m}

possiamo calcolare l’area di base, il perimetro di base e il raggio della circonferenza inscritta nel quadrato

\ S_b=L^2=(1,8 mbox{ m})^2 = 3,24 mbox{ m}^2 \ \ 2p=4L = 4 times (1,8 mbox{ m}) = 7,2 mbox{ m} \ \ r=frac{L}{2}=frac{1,8 mbox{ m}}{2} = 0,9 mbox{ m}

Fatto ciò, sapendo che l’altezza della piramide è di 4 metri, possiamo determinare:

– il volume della piramide con la relativa formula

V=frac{S_b times h}{3}=frac{(3,24 mbox{ m}^2) times (4 mbox{ m})}{3} = frac{12,96 mbox{ m}^3}{3} = 4,32 mbox{ m}^3

– la misura dell’apotema con il teorema di Pitagora

\ a=sqrt{h^2+r^2}=sqrt{(4mbox{ m})^2 + (0,9 mbox{ m})^2} = \ \ = sqrt{16 mbox{ m}^2 + 0,81 mbox{ m}^2} = sqrt{16,81 mbox{ m}^2} = 4,1 mbox{ m}

– l’area della superficie laterale dividendo per 2 il prodotto tra perimetro di base e apotema

S_{lat}=frac{2p times a}{2}=frac{(7,2 mbox{ m}) times (4,1 mbox{ m})}{2}=frac{29,52 mbox{ m}^2}{2}=14,76 mbox{ m}^2

– l’area della superficie totale come somma tra area della superficie laterale e area di base

S_{tot}=S_{lat}+S_b = 14,76 mbox{ m}^2 + 3,24 mbox{ m}^2 = 18 mbox{ m}^2

3) Calcolare il volume e le misure di spigolo di base, altezza e apotema di una piramide retta a base quadrata di cui è noto che l’area della superficie totale è di 35,84 metri quadrati e che l’area della superficie laterale è di 28 metri quadrati.

Svolgimento: scriviamo le informazioni a nostra disposizione

\ S_{tot}=35,84 mbox{ m}^2 \ \ S_{lat}=28 mbox{ m}^2

e iniziamo col calcolare l’area di base come differenza tra area della superficie totale e area della superficie laterale

S_b=S_{tot}-S_{lat}=35,84 mbox{ m}^2 - 28 mbox{ m}^2 = 7,84 mbox{ m}^2

Estraendo la radice quadrata dell’area otteniamo la misura dello spigolo di base

L=sqrt{S_b}=sqrt{7,84 mbox{ m}^2} = 2,8 mbox{ m}

Calcoliamo ora il perimetro di base

2p=4L=4 times (2,8 mbox{ m}) = 11,2 mbox{ m}

per poi determinare la misura dell’apotema dall’area della superficie laterale

a=frac{2 S_{lat}}{2p}=frac{2 times (28 mbox{ m}^2)}{11,2 mbox{ m}}=frac{56 mbox{ m}^2}{11,2 mbox{ m}}=5 mbox{ m}

Per calcolare il volume e la misura dell’altezza della piramide ci serve la misura del raggio della circonferenza inscritta nel quadrato, che è la metà dello spigolo di base

r=frac{L}{2}=frac{2,8 mbox{ m}}{2} = 1,4 mbox{ m}

Di conseguenza

\ h=sqrt{a^2-r^2}=sqrt{(5mbox{ m})^2 - (1,4 mbox{ m})^2} = \ \ = sqrt{25 mbox{ m}^2 - 1,96 mbox{ m}^2} = sqrt{23,04 mbox{ m}^2} = 4,8 mbox{ m} \ \ \ V=frac{S_b times h}{3}=frac{(7,84 mbox{ m}^2) times (4,8 mbox{ m})}{3} = frac{37,632 mbox{ m}^3}{3} = 12,544 mbox{ m}^3

***

Se vi occorrono altri problemi svolti vi rimandiamo alla scheda di esercizi sulla piramide – click! 😉

Clicca per leggere la risposta completa

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