quando un'equazione è indeterminata

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Introduzione

In matematica compaiono spesso uguaglianze di espressioni, alcune delle quali sono universali, cio sono vere per qualsiasi valore delle incognite (in questo caso si parla di identit) come per esempio nel caso dei prodotti notevoli:

[ (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy ]

mentre altre valgono solo per alcuni valori delle lettere che vi compaiono, come:

[ x + y = 5 ]

alcune uguaglianze, poi, risultano essere sempre false:

[ x^2 + y^2 = – 3 ]

Definiamo, quindi, unequazione come unuguaglianza tra due espressioni contenenti una o pi lettere.

Definizioni

  • Le espressioni che si trovano a sinistra e a destra del simbolo di uguaglianza vengono definiti primo membro e secondo membro; questi possono essere scambiati per la propriet simmetrica delluguaglianza;
  • Se compare una sola lettera nelluguaglianza, essa viene definita incognita;
  • se compaiono pi lettere nelluguaglianza, una o pi di esse unincognita, altre possono essere lettere definite parametri;
  • Le incognite sono le lettere di cui ci ignoto il valore: risolvere unequazione significa determinare il valore delle incognite che verificano lequazione;
  • I parametri sono dei numeri noti di cui per non specificato il valore (possono anche non essere presenti).

Classificazione delle equazioni

In base alle loro componenti, le equazioni possono essere suddivise per tipologia; se nellequazione sono presenti dei parametri, lequazione viene definita letterale, altrimenti lequazione si dice numerica.Unequazione pu essere intera, o frazionaria, nel caso in cui compaiano delle incognite al denominatore.

Ecco uno schema che riassume la classificazione delle equazioni:

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Soluzioni di unequazione in una incognita

Consideriamo solo equazioni in unincognita che, generalmente, viene indicata con x. Sostituendo un numero al posto di unincognita, lequazione si trasforma in unuguaglianza tra due espressioni numeriche; questa uguaglianza pu essere vera o falsa.
Le soluzioni (o radici) di unequazione lineare in unincognita sono quei numeri che, sostituiti al posto dellincognita, trasformano lequazione in unuguaglianza vera.

Si dice anche che i numeri soddisfano o verificano lequazione data.

Consideriamo lequazione

( frac{1}{2}(x-1)+3x=2(x+2) )

Sostituendo allequazione il numero 3 abbiamo:

( frac{1}{2}(3-1)+3cdot 3 = 2(3+2) )

(frac{1}{2}cdot 2 + 9 = 2 cdot 5 )

( 1 + 9 = 10 )

( 10 = 10 )

Quindi, lequazione verificata, e 3 soluzione.

Insieme delle soluzioni di unequazione in una incognita

Risolvere unequazione in una incognita significa determinare linsieme delle soluzioni dellequazione; tale insieme viene generalmente indicato con S, ed un insieme di [url=https://www.matematicamente.it/appunti/insiemi/insieme-r-dei-numeri-reali/]numeri reali.
In base alla composizione di S, lequazione viene definita determinata, indeterminata o impossibile.

  • unequazione si dice determinata se linsieme delle soluzioni contiene un numero finito di elementi.

Esempio di equazione determinata

Lequazione ( x^2 – 4 = 0 ) ha due soluzioni: +2 e -2; infatti:

( 2^2 – 4 = 0
ightarrow 4 – 4 = 0 )

( (-2)^2 – 4 = 0
ightarrow 4 – 4 = 0 )

Poich ( S = {-2; +2} ) , lequazione determinata.

  • Unequazione si dice impossibile se non ha soluzioni, cio se sostituendo qualsiasi numero allequazione si ottiene unuguaglianza falsa; se, cio, linsieme delle soluzioni linsieme vuoto;

Esempio di equazione impossibile

Consideriamo lequazione ( x = x + 5 )

notiamo che sostituendo qualsiasi valore alla x, luguaglianza non sar mai verificata; lequazione pertanto impossibile.

  • Unequazione si dice indeterminata se linsieme delle soluzioni contiene un numero infinito di elementi, cio se le soluzioni dellequazione sono infinite.

Esempio di equazione indeterminata

Consideriamo lequazione che deriva dallo sviluppo del quadratodel binomio:

( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 )

Notiamo che, in questo caso, quando sostituiamo valori alla x, otteniamo sempre unuguaglianza vera, per qualsiasi valore che viene sostituito. Lequazione ha quindi infinite soluzioni, ed pertanto indeterminata.

Si pu anche scrivere: ( S = mathbb{R} )

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