trova k in modo che il polinomio

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Possiamo risolvere agilmente l’esercizio, avvalendoci del teorema del resto.

Prima di procedere con i calcoli, facciamo un brevissimo ripasso teorico fornendo la condizione di divisibilità tra polinomi in una sola indeterminata.

Un polinomio A(x) è divisibile per un polinomio B(x)ne 0 se e e solo se è nullo il resto della divisione polinomiale tra A(x) mbox{e}  B(x).

La condizione di divisibilità si basa quindi sulla nullità del resto della divisione, ma non finisce qui! Nel caso in cui B(x) sia un binomio del tipo x-c, possiamo tranquillamente combinarla con il teorema del resto, il cui compito è quello di determinare il resto con una semplice valutazione polinomiale.

Ricordiamo infatti che il resto della divisione tra un polinomio P(x) e un binomio (x-c) è uguale al valore che P(x) assume per x=c. In simboli matematici:

R=P(c)

dove c è il termine noto del binomio, cambiato di segno.

Perfetto ora possiamo dedicarci al problema che ci chiede di calcolare il valore da attribuire al parametro k affinché il polinomio

P(x)=x^3-kx^2+x+1

sia divisibile per il binomio x-1.

Calcoliamo il resto della divisione tra P(x) mbox{e}  x-1 con il teorema del resto: è sufficiente sostituire x con l’opposto del termine noto del binomio, c=-(-1)=1.

\ R=P(1)=1^3-kcdot 1^2+1+1= \ \ = 1-k+1+1=3-k

Abbiamo ricavato l’espressione del resto in termini di k.

In base alla condizione di divisibilità, P(x) è divisibile per x-1 se il resto è zero, ossia se sussiste l’equazione

R=0iff 3-k=0iff k=3

In definitiva, (x-1) divide il polinomio P(x) se e solo se k=3.

Abbiamo finito!

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